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21-05-11 トラスの節点法 算式解法について

質問コーナー

この記事はTwitterから寄せられた質問に答えるものです。

興味ある方は下のリンクの記事をご覧ください。

 

節点法」の算式解法について今回はやっていきます。

算式解法は、トラスを解く場合よく使います。

しっかりと理解しておきましょう。

 

この「節点法算式解法は三角比を用います。

sin,cos,tan…というものです。

そちらについては別記事で解説していますので、復習したい場合は下のリンクの記事をご覧ください。

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例題

下の図のトラスを節点法の算式解法で解きなさい。

 

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解説

考え方は図式解法の時と同じです。

一つ一つの節点を解いていきます。

 

この問題は、単純梁系トラスなので、まず反力を求めます。

 

反力の決定

このトラスは左右対称で、かかっている荷重も左右対称なので、総荷重の半分がVA、VBにかかるとわかります。

 

今回の総荷重は

1+2+4+2+1=10

これの半分なので

10÷2=5

VA=VB=5kN

となります。

 

A点の解法

まず、A点にかかっている荷重と反力を足します。

(-1)+5=4kN

 

そうしたら次に、部材を平行移動させた示力図を描きます。

ここは、精度が求められていないのでラフで大丈夫です

(イメージするための図だと思ってください)

ここで矢印の向きが一周するように、矢印も書き入れてしまいます。

 

そうすると、良く見慣れた三角形が出てきました。

あとは1辺の長さを計算で出していきます。

三角関数が苦手な人は下のやり方がおすすめです。

 

補足:三角関数を使わず、比で求める方法

まず、この三角形の比を書き込みます。

そうしたらわかっている数字を隣に入れます。

長さが知りたい辺を比の式で求めます。

 

1 : 4= 2 : 〇

〇 = 8

 

結構便利なので、やり方を覚えることをお勧めします。

 

 

 

B点の解法

このB点はトラスを解くうえでラッキー地点です。

 

重要な点ですが、

トラスのT字型部分は0が生じる

からです。

これはしっかり覚えておきましょう。

 

下の図のようなイメージです。

これはどんな大きさの力がかかっていたとしても成り立ちます。

 

ただ、荷重も含めてのT型なので注意してください。

 

なので、B点は下の図のようになります。

そうすると、右側の部材は、左側の部材の力と釣合うために、同じ大きさの力が反対方向に加わることが分かります

 

 

C点の解法

改めて基本部分の考え方に戻りますが、「節点法」というのは、各節点に加わっている力が釣合う、というものでした。

 

つまり、C点の

ΣX=0

ΣY=0

(ΣMc=0 これは使いません)

 

ということになります。

では、それぞれを確認してみましょう。

 

ΣX

分かっているのは30°の角度の8kNだけです。

(荷重の2kNは垂直にかかっているのでX方向の計算には含めません)

 

この8kNをX方向とY方向に分解すると下の図のようになります。

 

次に、①の部材にかかっている力をxとし、方向を仮定して、X方向とY方向の力に分解すると下の図のようになります。

 

最後②の部材はそのままX方向に向いているので、力の大きさはそのまんまです。

大きさはyとします。

 

 

X方向の数値だけ出して、式にしていきます。

(マイナス方向に仮定した力には符号を忘れず書きましょう。) 

   

ΣY

先程分解した8kNのY方向

 

①の部材のY方向の力

荷重の大きさ2kNを足していきます。

(②の部材はY方向への力は加えていないので計算に含めません)

 

この式からxを求められます。

8 + x + -4 = 0

x = -4kN

 

このマイナスは、仮定した力が逆向きだったということを指します。

この答えから、①の部材にかかる力と向きが分かりました。

 

 

またΣXの時の式(☆マーク)に代入することで、②の部材の大きさも求めることができます。

となります。

これも仮定とは逆向きになります。

 

E点の解法

E点を解くうえで重要な点をもう一つ…

トラスの十字型の部分は左右上下が対象になる

という点です。

このことから、下の図のようになります。

 

 

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解答

このトラスは左右対称のため、片側の軸方向力を求めると、もう片方も分かります。

そのまま写してあげましょう。

また、先生によっては「少数に直せ」という人もいるので、関数電卓などを用いて少数に戻すこともできます。

 

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まとめ

この問題はC点でΣYを出したとき、きれいにxの値だけが出てきました。

しかし応用問題などになってくると、xだけの値が出てくるとは限りません。

そういう場合は、ΣXとΣYの式で連立方程式を立ててあげると、解くことができます。

 

トラスの「節点法」の算式解法は構造設計の分野でも難易度はかなり上位です。

一回では理解できないと思うので、繰り返し繰り返し練習して、分からないところがあったら先生や当サイトにご連絡ください。

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